POLITALA
MATDIS 1A
Nama : Achmad Dwi Normansyah
NIM : 1801301001
Assalamualaikum
wr.wb.
Kembali
lagi di blog ini kembali
Disini
saya akan memposting tentang Relasi
RELASI
Jika di kehidupan nyata, ada yang
namanya suatu hubungan (relasi) antara individu dan individu didalam suatu
kelompok. Ataupun hubungan unsur lain terhadap unsur/ hal lain, misal, hubungan
antar tetangga, hubungan mahasiswa dengan
mata kuliah ataupun hubungan dosen dengan pelajaran yang diampunya, dan
lain-lain.
Di
materi Relasi ini, saya akan membahas tentang hubungan/ relasi, hubungan antara
dua unsur/himpunan yang tidak kosong dengan satu aturan hubungan/perkaitan
tertentu, Penjelasan yang saya akan jelaskan meliputi definisi dan fungsi,
operasi dan sifatnya.
Definisi
Kita misalkan E & F sebagai himpunan, hubungan
antara himpunan E & himpunan F merupakan himpunan yang memiliki pasangan
atau huruf/ angka yang berurutan,
tetapi mengikuti aturan tertentu.
Dengan demikian hubungan biner R antar
himpunan E dan F, merupakan himpunan
dari E × F / R ⊆(E × F).
Contoh:
Misal E =
{2, 4, 6} dan F = {2, 4, 6, 8 }. Jika didefinisikan relasi R dari E ke F menggunakan aturan seperti, (e,fb) ∈ R jika
faktor dari f, dan Seperti yang kalian pelajari sebelumnya atau yang sudah
kalian ketahui, E × F
menjadi :
E × F = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (4, 2),
(4, 4), (4, 6), (4, 8), (6, 2), (6, 4), (6, 6), (6, 8)}
Jika menggunakan aturan relasi/ hubungan diatas,
relasi R dari E ke F yang mengikuti aturan tadi menjadi,
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8)}
Hubungan/Relasi bisa juga terjadi hanya pada satu atau sebuah himpunan,
yaitu hubungan pada E, di himpunan E, yang merupakan himpunan E × E
Contoh:
Misal R a/ relasi pada E = {2, 3, 4, 8, 9} yang
diumpamakan :
(x, y) ∈ R dan bila x habis dapat dibagi oleh y.
Relasi R pada E
yang menggikuti aturan tersebut a/ seperti dibawah ini.
R = {(2, 2), (4, 4), (4, 2), (8, 8), (8, 2), (8,
4), (3, 3), (9, 9), (9, 3)}
Contoh relasi :
E F
E :NAMA, SUBYEK/ Domain
F :OBYEK/ Kodomain
R :Relasi atau hubungan antar makanan favorit
Sifat-Sifat Relasi
Relasi atau hubungan pada himpunan punya suatu
sifat, sifat-sifat yang ada seperti..
1. Refleksif (reflexive)
Suatu relasi R pada himpunan E disebut refleksif
jika (e, e) ∈ R untuk setiap e ∈ E. Dan bisa disebut juga hubungan relasi R
pada himpunan E diketahui tidak refleksif jika e ∈ E dan begitu pula jika (a,
a) ∉ R.
Contoh:
Misalkan E = {1, 2, 3, 4}, dan sifat Relasi R adalah ‘≤’ yang dimisalkan himpunan E,
jadi R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2),
(2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4),
(4, 4)}
Kelihatan bukan jika (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) adalah bagian
unsur dari R. Jika begitu R dinyatakan himpunan Refleksif
Contoh :
Misalkan E = {2, 3, 4, 8, 9, 15}.
Jika kita misalkan relasi R yang ada di himpunan A
memiliki aturan:
(e, f) ∈ R jika e faktor prima dari f.Perlu
diteliti/ diketahuin jika(4, 4) ∉ R .
Jadi, jelas bahwa R tidak dan bukan bersifat refleksif.
Sifat refleksif memiliki ciri khas dalam pembuktian
suatu relasi, seperti:
• Relasi yang memiliki sifat refleksif memiliki
matriks dengan unsur utamanya semua bernilai 1, atau mii = 1, untuk i = 1, 2,
…, n,
• Relasi yang memiliki sifat refleksif jika dibuktikan
dalam bentuk graf terarah jadi di graf
tersebut akan ditemukan sebuah loop pada
setiap simpulnya.
2. Simetri (symmetric) dan Anti Simetri (antisymmetric)
Suatu relasi R di himpunan E memiliki sifat simetri
jika
(e, f) ∈ R, jika setiap e, f ∈ E , jadi (e, f) ∈ R.
Suatu relasi R pada himpunan E dikatakan tidak
simetri jika (e,f) ∈ R sementara itu (e, f) ∉ R.
Pada suatu relasi R dihimpunan E mempunyai anti
simetri dan misalkan untuk setiap
a, b ∈ A,
(a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R diakui jika a = b.
Perhatikan bila istilah/ definisi simetri dan
anti simetri bukanlah berlawanan, karena suatu relasi bisa punya kedua sifat itu sekaligus. tapi ,
suatu relasi tak bisa mempunyai kedua
sifat itu jika dia punya atau memiliki pasangan berurutan atau terurut dengan
bentuk
(a, b) yang
mana a ≠ b.
Contoh :
Misal R adalah sebuah relasi di himpunan Riil, yang
dinyatakan oleh :
e R f
bila & hanya jika e – f ∈ Y.
Memeriksa atau menyatakan relasi R memiliki sifat
simetri !
Misal e R f
jadi/ maka (e – f) ∈ Y, Sementara
(f – e) ∈ Z.
Dan bila menyatakan seperti ini R memiliki sifat
simetri.
Contoh:
Buktikan bila relasi ‘≤’ adalah himpunan Z. Yang bersifat anti simetri
Jadi jika e ≤ f dan f ≤ e berarti e = f.
Hasilnya adalah
‘≤’ menjadi/ memiliki sifat anti simetri.
3. Transitif (transitive)
Sebuah atau suatu relasi atau hubungan R pada himpunan E mempunyai sifat transitif
bila
(a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R, untuk
a, b, c ∈ A.
Contoh :
Misal E = {
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, & relasi
dapat diartikan bila :
e R f
jikalau & hanya bila e membagi f, dimana e, f ∈ E
Dan bila kita perhatikan definisi relasi R yang
terdapat pada himpunan E, jadi :
R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (3, 3), (3,
6), (3, 9), (4, 4), (4, 8)}
Dan Bila (2, 4) ∈ R & (4, 8 ) ∈ R terbukti
bila (2, 8 ) ∈ R.
Dan relasi R
memiliki sifat transitif.
Contoh :
R adalah relasi yang ada pada himpunan bilangan
Riil N yang diketahui atau didefinisikan seperti:
R : E + f = 5, e, f ∈ E,
Dengan mengikuti relasi R pada himpunan E, jadi:
R = {(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2) }
Buktikan bila
(1, 4) ∈ R & (4, 1) ∈ R , terapi (1, 1) ∉ R.
Jika seperti ini relasi R bukan atau tidak memiliki
sifat transitif.
Sifat transitif memiliki beberapa ciri didalam
pembuktian satu relasi , misalkan, sifat transitif di graf yang terarah
dinyatakan seperti:
Bila
ada satu/ sebuah busur dari e ke
f dan busur dari f ke g, jadi juga memiliki sebuah busur
Berarah/ diarahkan dari e ke g.
Dan saat/ bila
menyajikan suatu relasi transitif didalam bentuk matriks, sebuah relasi
transitif tidak memiliki satu ciri khusus di matriksnya.
Refrensi :
http://www.winpdf,com
0 Komentar