Himpunan

POLITALA MATDIS 1A

Nama                  : Achmad Dwi Normansyah

NIM                    : 1801301001

Assalamualaikum wr.wb.

Kembali lagi di blog ini kembali

Disini saya akan memposting tentang  Himpunan

PENGERTIAN HIMPUNAN

Definisi : Himpunan adalah kumpulan benda atau hal – hal lain yang telah terdefinisi secara jelas. Benda atau halhal

lain tersebut disebut elemen atau unsure atau anggota himpunan.

Himpunan biasanya diberi symbol huruf capital dan anggota himpunan dibatasi dengan tanda kurung kurawal. { … }

Contoh :

1. A = {b, c, d} artinya bahwa himpunan A mempunyai anggota b, c dan d atau dengan kata

lain dapat dikatakan b, c dan d merupakan anggota himpunan A.

Untuk menyatakan bahwa suatu benda atau object menjadi anggota suatu himpunan

digunakan lambang 􀀁 dan untuk menyatakan bahwa suatu objek bukan merupakan

anggota himpunan digunakan symbol 􀀂.

2. A = {b,c,d} dan B = {e,f} maka

b 􀀁 A dan b 􀀂 B

c 􀀁 A dan c 􀀂 B

d 􀀁 A dan d 􀀂 B

1.2 PENULISAN HIMPUNAN

Penulisan himpunan yang biasa dipergunakan ada dua bentuk yaitu;

A. Bentuk Enumerasi yaitu penulisan himpunan dengan menuliskan semua anggota himpunan dianta dua kurung kurawal

Contoh :

1. A = { a, b, c, d, e } menyatakan himpunan 5 hurup pertama.

2. B = { 1, 3, 5, 7, 9, 11 } menyatakan himpunan 6 bilangan ganjil.

3. C = { 11, 13, 17, 19 } menyatakan himpunan 4 bilangan prima.

B. Notasi Pembentuk Himpunan yaitu penulisan himpunan dengan menuliskan sifat anggotanya pada suatu notasi diantara dua kurung kurawal.

BAB I HIMPUNAN 2

Contoh :

1.      A = { x | x = lima hurup pertama abjad }.

2.      B = { x | x = enam bilangan ganjil pertama }.

3.      C = { x | 10 < x < 20 , x € bilangan prima }.

C. Diagram Venn yaitu menuliskan himpuan dalam bentuk diagram dimana himpunan semestanya digambarkan dengan segi empat sedangkan himpunan himpunan yang ada dilingkungannya digambarkan dengan lingkaran.

Contoh :

            S

CONTOH :

1. Tuliskan dalam bentuk enumerasi himpunanhimpunan

berikut serta kardinalitasnya:

a. A = { x | x 􀀁 himp bil bulat, 2 < x < 10 }

b. B = { x | x 􀀁 himp bil bulat, x2 + 1  10 }

c. C = { x | x 􀀁 himp bil bulat, x € bilangan ganjil, 5

< x < 5 }

JAWAB

a.       A terdiri dari semua bilangan bulat antara 3 dan 9, sehingga A = { 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } dan n ( A ) = 7.

b.      B memuat semua bilangan bulat yang memenuhi persamaan x2 + 1 = 10, sehingga B = { 2, 3, 1, 2, 3 } dan n ( B ) = 5.

c.       C = { 3, 1, 1, 3 } dan n ( C ) = 4 U A B.

KEANGGOTAAN HIMPUNAN

Pada dasarnya himpunan dipakai untuk mengelompokan anggota yang sejenis atau memiliki sifat yang mirip saja, tapi bila dipakai untuk menyatakan himpunan dari himpunan lain atau kelompok kelompok yang berbedapun tidak dapat disalahkan, sebagai contoh ;

A = { a, 1, b, 2, c, 3 }

P = { a, b, { a, b }, c, d }

S = { a, {a}, {{a}} }

KARDINALITAS HIMPUNAN

Misal S adalah himpunan yang angotaangotanya

berhingga banyaknya, maka jumlah banyaknya angota didalam himpunan S disebut kardinalitas dari himpunan S

Notasi : n (S) atau |S|

1.5 SIMBOLSIMBOL

BAKU HIMPUNAN

Dalam mempelajari himpunan ada beberapa himpunan yang memakai simbul baku yang

sering dipakai oleh beberapa buku. Simbulsimbul

himpunan baku ini diantaranya :

P = Himpunan bilangan positip = { 1, 2, 3, 4 . . . }

N = Himpunan bilangan asli = { 0, 1, 2, 3 . . . }

Z = Himpunan bilangan bulat = { . . . 2,

– 1, 0, 1, 2, . . . }

R = Himpunan bilangan riil

JENIS JENIS HIMPUNAN

Dalam ilmu matematika dikenal ada beberapa macam himpunan, antara lain :

a. HIMPUNAN KOSONG

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong

dilambangkan dengan tanda {}

Contoh :

A = { }

b. HIMPUNAN SEMESTA (S)

Hinpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua objekobjek yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta juga sering disebut himpunan universum atau semesta pembicaraan. Himpunan semesta biasa diberi symbol S

Contoh :

Besi dan tembaga termasuk logam, jika orang menyebut besi dan tembaga berarti orang tersebut sedang membicarakan masalah logam maka dikatakan { logam } merupakan himpunan semesta dari { besi, tembaga } atau dapat ditulis S = { besi, tembaga }

c. HIMPUNAN LEPAS

Yaitu dua buah himpunan yang tidak memiliki anggota yang bersekutu. Himpunan lepas diberi symbol //

Contoh :

Jika A = { x | x 􀀂 P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A // B.

d, HIMPUNAN SAMA

Definisi : himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika setiap angota himpunan A juga merupakan angota himpunan B demikian pula sebaliknya.

Notasi : A = B

Contoh ;

1. P = { a, b, c, d } dan Q = { d, c, b, a} , maka P = Q

2. Perhatikan himpunan himpunan berikut :

{ a }, { a, b, c }, { a, c, D }, { c, b, a }, { a, b }

Manakah dari himpunan himpunan tersebut yang sama dengan himpunan A = { b, c, a } ?

Jawab :

Himpunan { a, b, c } dan { c, b, a } identik atau sama dengan himpunan A karena

mereka mempunyai tiga buah elemen yang sama. Himpunan himpunan yang lain tidak sama dengan himpunan A karena mereka tidak mengandung semua elemen dari himpunan A atau mengandung elemen lain.

3. Perhatikan himpunan himpunan

{ 4, 2 }, { x | x x 2 6x

+ 8 = 0 } , { x | x adalah genap, 1 < x < 5 }

Manakah dari himpunan himpunan tersebut yang sama dengan B = { 2, 4 } ?

Jawab :

Semua himpunan di atas sama dengan himpunan B karena mereka semua memuat

elemen 2 dan 4 (tidak elemen lainnya).

d.  HIMPUNAN BERPOTONGAN

Dua himpunan dikatakan saling berpotongan jika terdapat minimal 1 anggota yang menjadi anggota kedua himpunan tersebut.

e. HIMPUNAN BAGIAN

DefInisi : Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B

Notasi : A C B

A C B; A himpunan bagian dari B bila tiap anggota himpunan A adalah elemen B.

Contoh:

A = { 2, 3, 4} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} , maka A C B

Catatan :

Banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan misalkan A, adalah 2n(A). Dimana n(A) adalah bilangan kardinal yang menunjukkan jumlah elemen dari himpunan A.

f. HIMPUNAN EKUIVALEN

Definisi : himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika

kardinal kedua himpunan tersebut sama.

Notasi : A ~ B

Contoh ;

X = { p, q, r, s } dan Y = { 2, 3, 5, 7 } , maka X ~ Y

g. HIMPUNAN KUASA

Himpunan kuasa (Power Set) adalah himpunan seluruh himpunan bagian dari suatu himpunan.

Contoh :

S = { 0, 1 } maka himpunan kuasanya Ρ(S) = { Ø, {0}, {1}, {0, 1} }

h. HIMPUNAN TERHINGGA

Definisi : Himpunan terhingga adalah himpunan yang banyak anggotannya terhingga.

Contoh:

P = { x | x adalah bilangan asli yang kurang dari 10 }

P adalah himpunan terhingga, karena elemenelemennya

terhingga yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6,

7, 8, 9.

i. HIMPUNAN TAK HINGGA

Definisi : Himpunan tak hingga adalah himpunan yang banyak anggotanya tidak

terhingga atau tidak terbatas.

Contoh:

A = { x | x adalah bilangan asli }

A adalah himpunan tak hingga, karena elemenelemennya tidak terbatas atau tak berhingga.

OPERASI HIMPUNAN

a. UNION (GABUNGAN)

Definisi : Union himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari semua angota yang termasuk dalam himpunan A atau atau himpunan B atau keduanya.

Notasi : A B dibaca A union B

b. INTERSECTION (IRISAN)

Definisi : Irisan himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari angotaangotanya dimiliki bersama oleh A dan B, yaitu angota anggota yang termasuk A dan juga termasuk B.

Notasi : A ∩ B yang dibaca ”A irisan B”

Contoh :

1. S = { a, b, c, d } dan T = { b, d, f, g }

Maka S 􀀂 T = { b, d }

Dapat dinyatakan dengan A ∩ B = {x | x € A dan x € B}

Setiap himpunan A dan himpunan B mengandung A ∩ B sebagai sub himpunan, yaitu (A ∩ B) ∩A dan (A ∩B) ∩ B Jika himpunan A dan himpunan B tidak mempunyai elemenelemen yang dimiliki bersama, berarti A dan B terpisah, maka irisan dari keduanya adalah himpunan

kosong.

c. DIFFERENCE (SELISIH)

Definisi : Selisih dari himpunan A dan himpunan B adalah himpunan dari elemenelemen

yang termasuk A tetapi tidak termasuk B.

Notasi : A – B dibaca ”selisih A dan B” atau ”A kurang B”

dapat dinyatakan dengan A – B = { x | x € A dan x 􀀆 B}

Himpunan A mengandung A – B sebagai subhimpunan, berarti

(A – B) C A

Contoh :

1. Terdapat himpunan sebagai berikut

A = { 0, 1, 3, 4, 6 } ; B = { 0, 3, 6 } ; C = { 5, 6 }

Tentukan :

a. A – B b. A – C c. B C

JAWAB

a. A B = { 1, 4 }

b. A C = { 0, 1, 3, 4, }

c. B C = { 0, 3 }

d. COMPLEMENT (KOMPLEMEN)

Definisi : Komplemen dari himpunan A adalah himpunan dari elemenelemen

yang tidak termasuk A, yaitu selisih dari himpunan semesta U dan A.

Notasi : A’ = { x 􀀅 x 􀀃 U dan x 􀀆 A} atau A’ = {x 􀀅 x 􀀆 A}

e. SYMETRIC DIFFERENCE (BEDA SETANGKUP)

Definisi : Beda setangkup dari himpunana A dan B adalah suatu himpunan yang

elemennya ada pada himpunan A atau B tapi tidak dikeduanya.

Notasi : A 􀀇 B dibaca ” Beda setangkup A dan B dapat dinyatakan pula dengan :

A 􀀇 B = ( A 􀀁 B ) – ( A 􀀂 B )

            S

e. CARTESIAN PRODUCT (PERKALIAN CARTESIAN)

Definisi : Perkalian kartesian dari himpunan A dengan himpunan B adalah himpunan yang agotaangotanya semua pasangan berurutan ( ordered pair ) yang mungkin dibentuka dengan unsur pertama dari himpunan A

dan unsur kedua deari himpunan B.

Notasi : A x B = { ( a, b) | a € A dan b € B

Contoh :

A = { 1, 2, 3 } dan B = { a, b } , maka

A x B = { (1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b) }

Refrensi :

http://www.winpdf,com