Matematika Diskrit

TI_POLITALA_MATDIS_1A

PROPOSISI, OPERATOR, TABEL KEBENARAN DAN KALIMAT MAJEMUK.

Pengertian Proposisi

Proposisi adalah suatu kalimat yang memiliki nilai benar (true) atau salah (false) tetapi tidak memiliki nilai keduanya. Kalimat tanya atau perintah tidak dianggap sebagai proposisi karena nilai kebenarannya belum jelas atau menimbulkan ambiguitas (makna ganda). Dalam bahasa pemrograman nilai benar diwakili oleh angka 1 sedangkan nilai salah diwakili oleh angka 0.

a. 1  tahun memiliki 365 hari

b. DKI Jakarta adalah ibukota Negara Indonesia

c. Lampung Adalah salah satu Kota Di indonesia

 Dari contoh di atas, dapat kita ketahui dimana kalimat a, b, dan adalah pernyataan yang benar. Sedangkan kalimat c adalah salah. Itulah yang merupakan proposisi, dapat diketahui nilai kebenarannya.

b)     Negasi

                        (Kasfy ivanedra) Operasi negasi (negation) atau penyangkalan, atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada sebuah pernyataan. Operasi negasi dilambangkan dengan tanda   “  ” atau “ – “ yang disebut tilde atau curl. Untuk selanjutnya akan dipakai simbol .   Seandainya p sebuah pernyatan tunggal, maka “ p” dibaca negasi p atau tidak p, atau bukan p, adalah pernyataan majemuk. Mungkin ada yang merasa agak janggal bahwa negasi merupakan suatu operasi logika matemtika, sehingga suatu pernyataan bernegasi atau penyangkalan dari suatu pernyataan merupakan suatu pernyataan majemuk. Namun jelaslah bahwa dalam pernyataan-pernyataan negasi itu pertama-tama terdapat suatu pernyataan atau proposisi yang bersifat tunggal,

misalnya : Harimau adalah binatang buas Untuk menjadikan suatu pernyataan negasi, diperlukan pernyataan lain, yang menyatakan bahwa proposisi yang pertama tadi tidak benar, misalnya : Itu tidak benar

a.      Konjungsi (^)

Dua pernyataan p dan q dapat digabungkan menjadi satu pernyataan majemuk menggunakan konjungsi menjadi p^q (dibaca “p dan q).
Tabel kebenaran:

p	q	p^q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

b.       Disjungsi (v)

Dua pernyataan p dan q dapat di gabungkan menjadi satu pernyataan majemuk menggunakan disjungsi menjadi menjadi p v q (dibaca “p atau q”)

p	q	p v q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

c.       Implikasi (à)

Dua pernyataan p dan q dapat digabungkan menjadi pernyataan majemuk menggunakan disjungsi menjadi p => q (dibaca “jika p maka q”)

Tabel kebenaran:

P	q	p à q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

bentuk-bentuk pernyataan majemuk :

a.       q=> p disebut konvers

b.      ~p=> ~q disebut invers

c.       ~q=> ~p disebut kontraposisi

=> q  ~q=> ~p disebut implikasi dengan ekuivalen dan kontraposisinya.

d.  Biimplikasi (ó)

Dua peryataan p dan q dapat digabungkan menjadi satu pernyataan majemuk menggunakan biimplikasi pó q .

Tabel kebenaran:

P	q	p ß> q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

                       Contoh soal:

p : Saya memakai mantel

q : saya merasa dingin

maka, p => q = “Saya memakai mantel jika dan hanya jika saya merasa dingin”.

 Pengertian kita adalah “Jika saya memakai mantel maka saya merasa dingin” dan juga “Jika saya merasa dingin maka saya memakai mantel”. Terlihat bahwa jika saya memakai mantel merupakan syarat perlu dan cukup bagi saya merasa dingin, dan saya merasa dingin merupakan syarat perlu dan cukup bagi saya memakai mantel. Terlihat bahwa kedua peristiwa itu terjadi serentak.

Contoh Soal :

Jika, p : Restu anak pandai, dan

        q : Restu anak cekatan.

maka p ∧ q  : Restu anak pandai dan cekatan

Pernyataan p ∧ q bernilai benar jika Restu benar-benar anak pandai dan benar-benar anak cekatan.

Apabila p ∧ q jika di negasikan menjadi ~p  ∨ ~q

Maka ~p  ∨ ~q : Restu bukan anak pandai atau bukan cekatan

2TAUTOLOGI, KONTRADIKSI, DAN KONTINGENSI

1)      Pengertian Tautologi

Adalah proposisi majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan kompenennya. Sebuah tautologi yang membuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis.

Contoh:

Perhatikan argument berikut:

“Jika Toni pergi kuliah, maka Dini juga akan pergi kuliah. Jika siska tidur, maka Dini pergi kuliah. Dengan demikian, jika Toni pergi kuliah atau Siska tidur, maka Dini pergi kuliah.”

Maka sekarang dapat ditulis : ((A à B) ^ (C à B)) à (A V C) à B.

A	B	C	A à B	C à B	((AàB) ^ (CàB)	A v C	(Av C)àB	SOAL
B	B	B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	B	B	B	B	B
B	S	B	S	S	S	B	S	B
B	S	S	S	B	S	B	S	B
S	B	B	B	B	B	B	B	B
S	B	S	B	B	B	S	B	B
S	S	B	B	S	S	B	S	B
S	S	S	B	B	B	S	B	B

     

Dari table kebenaran di atas menunjukan bahwa peryataan ((A à B) ^ (C à B)) à (A V C) à B adalah semua benar (Tautologi)

2)      Pengertian Kontradiksi

Kontradiksi adalah proposisi majemuk yang selalu bernilai salah apapun pernyataannya.

Contoh dari kontradiksi :

P ^ (~ p ^ q )

P	Q	~p	(~ p ^ q )	P ^ (~ p ^ q )
B	B	S	S	S
B	S	S	S	S
S	B	B	B	S
S	S	B	S	S

            Ini adalah table kebenaran yang menunjukan kontradiksi dengan alasan. Yaitu semua pernyataan bernilai salah.

3)      Pengertian Kontingensi

      Kontingensi adalah suatu ekspresi ligika yang mempunyai nilai benar dan salah di dalam table kebenarannya, tanpa memperdulikan nilai kebenarannya dari proposisi-proposisi yang berada di dalamnya. Ini termasuk bentuk campuran dari nilai benar (B) dan salah (S).

      Contoh dari kontingensi:

P v Q à R

P	Q	R	P v Q	(P v Q) à R
B	B	B	B	B
B	B	S	B	S
B	S	B	B	B
B	S	S	B	S
S	B	B	B	B
S	B	S	B	S
S	S	B	B	B
S	S	S	S	B

Ini adalah table kebenaran yang menunjukan kontingensi dengan alasan. Yaitu semua pernyataan bernilai benar dan'' salah.

  EKUIVALENSI

1)      Pengertian Ekuivalensi

      Dua pernyataan tersebut dikatakan ekuivalensi jika untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponen-komponen mempunyai nilai yang sama.

Tabel Kebenaran:

B	B	S	B	B
B	B	S	B	B
B	S	S	S	S
S	B	B	B	B
S	S	B	B	B

      Ini adalah table kebenaran yang menunjukan ekuivalensi dengan alasan. yaitu semua pernyataan bernilai sama.

2)      Bentuk Logika Ekuivalensi

a.       Hukum Komutatif

a)      p ^ q ≡ q ^ p

b)      p ^v q ≡ q ^v vp

b.      Hukum Asosiatif

a)      ( p ^ q) ^ r ≡ p ^ (q ^ r)

b)      ( p ^v q) v  r ≡ p v (q ^v r)

c.       Hukum Distributif

a)      p  ^ (q ^vr) ≡ (p ^ q) ^v (p ^ r)

b)      p  ^v (q ^ r) ≡ (p ^v q) ^v (p ^v r)

d.      Hukum de Morgan

a)      ~ (p ^ q) ≡ ~p ^v ~q

b)      ~ (p ^v q) ≡ ~p ^ ~q

c)      ~ (p à q) ≡ ~p ^ ~q

d)      p à q ≡ ~p ^v ~q